DspSys.org

Импульсная характеристика h(k) дискретной системы является откликом системы на единичную импульсную функцию x₀(k), являющуюся аналогом дельта-функции при описании дискретных систем и представляющую собой единичный отсчет с единичным значением:

               (1)

Импульсная характеристика показывает реакцию дискретной системы на подачу на ее вход единичной импульсной функции.

Рисунок 1

y₀(k) = F(x₀(k)) = h(k)         (2)

Импульсная характеристика является основной характеристикой линейной системы: зная ее можно определить реакцию на любое воздействие.

Выведем формулу расчета отклика системы на произвольное воздействие x(k) через импульсную характеристику.

Воздействие x(k) можно записать в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

(3)

По свойствам линейной стационарной дискретной системы получаем:

- реакцией на единичную импульсную функцию x₀(k) является импульсная характеристика дискретной системы h(k):

x₀(k) => h(k)

- по свойству инвариантности во времени, воздействию, задержанному на m отсчетов соответствует реакция, задержанная на такое же число отсчетов:

x₀(k – m) => h(k – m)

- По свойству однородности умноженному воздействия на константу x(m) соответствует реакция, умноженная на ту же константу x(m)

x₀(k – m)·x(m) => h(k – m)·x(m)

- По свойству аддитивности реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействия по отдельности:

Так как

    (4)

Линейное уравнение, описываемое формулой 4, называется дискретной линейной сверткой.

Дискретная свертка позволяет описать взаимосвязь выхода дискретной системы с ее входом с помощью импульсной характеристики дискретной системы.

Формула (4) может быть записана в виде:

(5)

Свертка так же может быть записана в сокращенном виде:

y(k)=h(k)*x(k)

Пределы суммирования в формулах 4 и 5 могут быть изменены в соответствии с входным сигналом и свойствами системы.

Например, для физически реализуемых дискретных линейных систем мы будем использовать следующие формулы:

(6)

(7)

Ограничение пределов суммирования означает, что система при вычислении использует только предыдущие значения отсчетов воздействия и не имеет информации о последующих.

Пример вычисления свертки.

h(k) {2,  4,  3}

x(k) {1, -1,  1,  1}

y(0) = 2·1 = 2               

y(1) = 2·(-1) + 4·1 = 2   

y(2) = 2·1 + 4·(-1) + 3·1 = 1   

y(3) = 2·1 + 4·1 + 3·(-1) = 3   

y(4) = 4·1 + 3·1  = 7   

y(5) = 3·1 = 3    

y {2, 2, 1, 3, 7, 3}

Рисунок 2

Следующая статья