Разностное уравнение

В предыдущей статье мы рассмотрели способ описания дискретных линейных систем с помощью формулы свертки входного сигнала x(k) с импульсной характеристикой дискретной системы h(k). Наряду с этим способом так же используется описание соотношения вход/выход линейной дискретной системы с помощью линейных разностных уравнений вида:

y(k) = b₀·x(k) + b₁·x(k–1) + b₂·x(k–2) + … + b_n–

– a₁·y(k–1) – a₂·y(k–2) – … – a_m·y(k–m) = (1)

где b_i, b_j– вещественные константы-коэффициенты, называемые внутренними параметрами линейной дискретной системы;

x(k), y(k) – воздействие и реакция

Линейная дискретная система, описываемая по формуле 1, отвечает условиям физической реализуемости, так как при нулевых начальных условиях реакция не может возникнуть раньше воздействия, потому что значение реакции y(k) зависит от текущего и предыдущих значений воздействия и не зависит от последующих.

Линейное разностное уравнение является аналогом линейного дифференциального уравнения, с помощью которого описывается связь между входным и выходным сигналом аналоговой линейной системы:

y(t) =–...

...–=...

...= (2)

Рассмотрим, каким образом можно осуществить переход от дифференциального уравнения к разностному. Перейдем к дискретному времени. Рассмотрим ряд соответствий:

dt => T_д, где T_д – период дискретизации;

dⁿx(t) => ∆ⁿx(k), где ∆ⁿx(k) – конечная разность n-порядка воздействия;

dⁿy(t) => ∆ⁿy(k), где ∆ⁿy(k) – конечная разность n-порядка реакции;

Конечная разность n-порядка определяется по формуле:

∆ⁿx(k) = ∆ⁿ^-1x(k) – ∆ⁿ^-1x(k-1) (3)

К примеру, аналогом дифференциала первого порядка является первая конечная разность:

∆x(k) = x(k)– x(k-1),

аналогом второго - вторая:

∆²x(k) = ∆x(k) – ∆x(k-1) =

x(k)– x(k-1) – x(k-1) + x(k-2) = x(k) – 2 x(k-1) + x(k-2)

Коэффициенты перед x(k) могут быть определены при помощи бинома Ньютона.

Рассмотрим пример перехода к разностному уравнению: