DspSys.org

В статье «Разностное уравнение» мы рассмотрели способ описания линейных дискретных систем с помощью линейного разностного уравнения:

 y(k) = b₀·x(k) + b₁·x(k–1) + b₂·x(k–2) + … + b_n–

– a₁·y(k–1) – a₂·y(k–2)  – … – a_m·y(k–m)            (1)

По формуле (1) видно, что отсчеты реакции системы являются линейной комбинацией входных отсчетов в текущий и предыдущие моменты времени и отсчетов реакции в предыдущие моменты времени. Чтобы реакция системы зависела от воздействия очевидно, что хотя бы один отсчет воздействия должен участвовать в вычислениях по формуле (1). В то же время задержанные отсчеты реакции могут и не участвовать в данных вычислениях. Такие дискретные системы называются нерекурсивными.

Система называется нерекурсивной в том случае, если все коэффициенты a_k равны 0, т.е. реакция системы не зависит от реакции системы в предыдущие моменты времени.

y(k) = b₀·x(k) + b₁·x(k–1) + b₂·x(k–2) + … + b_n =

(2)

Иными словами нерекурсивная дискретная система (или нерекурсивный дискретный фильтр) не содержит цепей обратных связей.

Порядок нерекурсивной линейной дискретной системы определяется порядком разностного уравнения (в данном случае – n).

Получим импульсную характеристику нерекурсивного дискретного фильтра. Для этого (исходя из определения импульсной характеристики дискретной линейной системы) рассчитаем реакцию системы на единичную импульсную функцию x₀(k). Эта реакция и является импульсной характеристикой системы.

(3)

По свойствам единичной импульсной функции множитель x₀(k-i) равен нулю при всех k отличных от i и равен единице при k = i.

При этом условии получаем:

h(k)=b_k               (4)

Как мы видим из формулы (4), значения отсчетов импульсной характеристики нерекурсивной дискретной системы совпадают с коэффициентами b_k разностного уравнения.

Нерекурсивные фильтры называют фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры, FIR (finite impulse response)) так как импульсная характеристика нерекурсивного фильтра имеет конечную длину.

Так как КИХ-фильтры не содержат обратных связей и их импульсная характеристика конечной длины,  они являются устойчивыми. Устойчивость  нерекурсивного фильтра можно объяснить следующим образом: предыдущие отсчеты воздействия сохраняющиеся в памяти фильтра при отсутствии воздействия обнулятся не более чем за n тактов, следствием чего является нулевая реакция.

По причинам простоты реализации и устойчивости КИХ фильтры часто применяются на практике, например, в качестве фильтров высоких или низких частот, частоиспользуемое преобразование Гильберта так же может быть реализовано как нерекурсивный фильтр.

 Следующая статья