DspSys.org

Комплексная огибающая

Как правило, сигналы, используемые при передаче информации по радиоканалам связи занимают определенную ограниченную полосу частот (условимся называть такие сигналы полосовыми), то есть спектр сигнала с модуляцией s(t), где t – время, сосредоточен в некоторой полосе частот шириной П в окрестности несущей частоты ω_0, причем ω₀ много больше ширины полосы П (рисунок 1).

Рисунок 1 – Спектр полосового радиосигнала сигнала

Стоит отметить, что в литературе при описании понятия комплексной огибающей обычно используется термин узкополосный сигнал (комплексная огибающая узкополосного сигнала). Здесь и в последующих статьях мы будем пользоваться термином полосовой сигнал, так как считаем его более подходящим по той причине, что понятие комплексной огибающей и методы анализа и синтеза сигналов на ее основе могут быть использованы как для широкополосных так и для узкополосных сигналов.

Для представления узкополосного радиосигнала достаточно знать его несущую частоту и относительно низкочастотный двухкомпонентный векторный процесс – комплексную огибающую.

В общем случае (в зависимости от вида модуляции) у сигнала  s(t) может изменяться амплитуда и начальная фаза.

s(t) = A(t)cos[ω₀t + φ(t)]  (1)

A(t) – амплитудная огибающая (закон, по которому изменяется амплитуда);

φ(t) – фазовая функция (закон, по которому изменяется начальная фаза).

Весь аргумент функции cos называется полной фазой сигнала ψ(t) = ω₀t + φ(t), тогда

s(t) = A(t)cos[ψ(t)]  (2)

Для удобства анализа сигнал s(t) преобразуют в комплексный вид. Такое представление называется аналитическим сигналом z(t).

z(t) = s(t) + js₁(t)   (3)

Действительная часть аналитического сигнала совпадает с сигналом s(t), мнимая часть s₁(t) (называемая квадратурным дополнением) является результатом преобразования Гильберта сигнала s(t) – копией сигнала s(t), в которой все частотные составляющие смещены на угол π/2. Для  сигнала (2) аналитический сигнал выражается формулой

z(t) = A(t)cos[ψ(t)] + jA(t)sin[ψ(t)] (4)

Воспользовавшись формулой Эйлера выражение (4) можно представить в виде

z(t) = A(t)exp[jψ(t)]  (5)

Сигнал (1) можно представить как действительную часть комплексной функции z(t) (5)

s(t)= Re{z(t)} = Re{A(t)exp[jψ(t)]} (6)

Проанализируем функцию A(t)exp[ψ(t)].

A(t)exp[jψ(t)] = A(t)exp[j(ω₀t +φ(t))] = A(t)exp(jω₀t)exp[jφ(t)]

Множитель exp(jω₀t) описывает немодулированное несущее колебание и является быстроменяющимся, а A(t)exp[jφ(t)] меняется, как правило, значительно медленнее и содержит информацию об амплитудной огибающей и начальной фазе. Этот медленноменяющийся множитель называется комплексной огибающей сигнала z₀(t)

z₀(t) = A(t)exp[jφ(t)] (7)

Таким образом аналитический сигнал можно представить в виде

z(t) = z₀(t)exp(jω₀t) (8)

Сигнал s(t) через комплексную огибающую выражается по формуле

s(t) = Re{z₀(t)exp(jω₀t)}

Функция спектральной плотности комплексной огибающей определяется согласно преобразованию Фурье по формуле

   (6)

Спектр S(ω) исходного радиосигнала s(t) и спектр его комплексной огибающей связаны соотношениями

S(ω) = 0,5Z₀(ω – ω₀), при ω ≥ 0   (10.1)

S(ω) = 0,5Z₀^*(–ω – ω₀), при ω < 0  (10.2)

где * – знак комплексной сопряженности.

Рисунок 2 – Амплитудные спектры полосового радиосигнала (изображен темно-зеленым цветом) и его комплексной огибающей (изображен красным цветом)

Рисунок 3 – Фазовые спектры полосового радиосигнала (изображен темно-зеленым цветом)

и его комплексной огибающей (изображен красным цветом)

Представим комплексную огибающую в синусно-косинусной форме, воспользовавшись формулой Эйлера, тогда

z₀(t)=A(t)cos[φ(t)] + jA(t)sin[φ(t)] = I(t) + jQ(t),  (11)

где I(t) = A(t)cos[φ(t)] – синфазная составляющая комплексной огибающей;

Q(t) = A(t)sin[φ(t)] – квадратурная составляющая комплексной огибающей.

Тогда A(t)exp[jψ(t)] можно представить в виде

A(t)exp[jψ(t)]= A(t)exp[jφ(t)]exp(jω₀t)  = [I(t)+jQ(t)]exp(jω₀t) = [I(t)+jQ(t)][cos(ω₀t)+ jsin(ω₀t)] =

=I(t)cos(ω₀t)+ jI(t)sin(ω₀t)+ jQ(t)cos(ω₀t)+ j²Q(t) sin(ω₀t) =

=I(t)cos(ω₀t) – Q(t)sin(ω₀t)+j[I(t)sin(ω₀t)+Q(t)cos(ω₀t)] (12)

Тогда s(t)=Re{A(t)exp[jψ(t)]}= I(t)cos(ω₀t) – Q(t)sin(ω₀t).

s(t)= I(t)cos(ω₀t) – Q(t)sin(ω₀t)  (13)

Формула (13) описывает математическую модель квадратурного модулятора, позволяющий сформировать радиосигнал с произвольным видом модуляции.  Амплитудная огибающая сигнала определяется выражением A(t)= , фазовая функция – φ(t)=arctg[Q(t)/I(t)].

На рисунке 4 представлена функциональная схема векторного модулятора.

Рисунок 4 - Функциональная схема векторного модулятора

Так как cos(ω₀t + π/2)=–sin(ω₀t), то формулу (13) можно переписать в виде

s(t)= I(t)cos(ω₀t)+Q(t)cos(ω₀t + π/2) (14).

Таким образом, в схему на рисунке 4 нужно ввести фазовращатель на угол  π/2.

Рисунок 5 -Функциональная схема векторного модулятора с фазовращателем

На слайдах 1-4 представлены комплексные огибающие сигналов с различными видами модуляции. В левом верхнем углу отображается осциллограмма несущей частоты s_н(t)=cos(ω₀t), далее в левом столбце отображаются компоненты комплексной огибающей I(t) и Q(t), в правом верхнем углу - результат модуляции по формуле (14), в правом нижнем углу - сигнальное созвездие. Длинна вектора - амплитуда сигнала, начальная фаза сигнала - угол между вектором и осью абсцисс.

Слайд 1 - Фазовая манипуляция ФМн-2 (BPSK)

Слайд 2 - Фазовая манипуляция ФМн-4 (QPSK)

Слайд 3 - Квадратурная модуляция (QAM)

Слайд 4 - Частотная манипуляция

Следующая статья

ЛИТЕРАТУРА

1. Сергиенко А.Б. "Цифровая обработка сигналов": СПб:Питер - 2003

2. Полосовые радиосигналы. Комплексная огибающая и универсальный квадратурный модулятор