Комплексная огибающая. Квадратурный модулятор
Комплексная огибающая
Как правило, сигналы, используемые при передаче информации по радиоканалам связи занимают определенную ограниченную полосу частот (условимся называть такие сигналы полосовыми), то есть спектр сигнала с модуляцией s(t), где t – время, сосредоточен в некоторой полосе частот шириной П в окрестности несущей частоты ω0, причем ω0 много больше ширины полосы П (рисунок 1).
Рисунок 1 – Спектр полосового радиосигнала
Стоит отметить, что в литературе при описании понятия комплексной огибающей обычно используется термин узкополосный сигнал (комплексная огибающая узкополосного сигнала). Здесь и в последующих статьях мы будем пользоваться термином полосовой сигнал, так как считаем его более подходящим по той причине, что понятие комплексной огибающей и методы анализа и синтеза сигналов на ее основе могут быть использованы как для широкополосных так и для узкополосных сигналов.
Для представления узкополосного радиосигнала достаточно знать его несущую частоту и относительно низкочастотный двухкомпонентный векторный процесс – комплексную огибающую.
В общем случае (в зависимости от вида модуляции) у сигнала s(t) может изменяться амплитуда и начальная фаза.
s(t) = A(t)cos[ω0t + φ(t)] (1)
A(t) – амплитудная огибающая (закон, по которому изменяется амплитуда);
φ(t) – фазовая функция (закон, по которому изменяется начальная фаза).
Весь аргумент функции cos называется полной фазой сигнала ψ(t) = ω0t + φ(t), тогда
s(t) = A(t)cos[ψ(t)] (2)
Для удобства анализа сигнал s(t) преобразуют в комплексный вид. Такое представление называется аналитическим сигналом z(t).
z(t) = s(t) + js1(t) (3)
Действительная часть аналитического сигнала совпадает с сигналом s(t), мнимая часть s1(t) (называемая квадратурным дополнением) является результатом преобразования Гильберта сигнала s(t) – копией сигнала s(t), в которой все частотные составляющие смещены на угол π/2. Для сигнала (2) аналитический сигнал выражается формулой
z(t) = A(t)cos[ψ(t)] + jA(t)sin[ψ(t)] (4)
Воспользовавшись формулой Эйлера выражение (4) можно представить в виде
z(t) = A(t)exp[jψ(t)] (5)
Сигнал (1) можно представить как действительную часть комплексной функции z(t) (5)
s(t)= Re{z(t)} = Re{A(t)exp[jψ(t)]} (6)
Проанализируем функцию A(t)exp[ψ(t)].
A(t)exp[jψ(t)] = A(t)exp[j(ω0t +φ(t))] = A(t)exp(jω0t)exp[jφ(t)]
Множитель exp(jω0t) описывает немодулированное несущее колебание и является быстроменяющимся, а A(t)exp[jφ(t)] меняется, как правило, значительно медленнее и содержит информацию об амплитудной огибающей и начальной фазе. Этот медленноменяющийся множитель называется комплексной огибающей сигнала z0(t)
z0(t) = A(t)exp[jφ(t)] (7)
Таким образом аналитический сигнал можно представить в виде
z(t) = z0(t)exp(jω0t) (8)
Сигнал s(t) через комплексную огибающую выражается по формуле
s(t) = Re{z0(t)exp(jω0t)}
Функция спектральной плотности комплексной огибающей определяется согласно преобразованию Фурье по формуле
(6)
Спектр S(ω) исходного радиосигнала s(t) и спектр его комплексной огибающей связаны соотношениями
S(ω) = 0,5Z0(ω – ω0), при ω ≥ 0 (10.1)
S(ω) = 0,5Z0*(–ω – ω0), при ω < 0 (10.2)
где * – знак комплексной сопряженности.
Рисунок 2 – Амплитудные спектры полосового радиосигнала (изображен темно-зеленым цветом) и его комплексной огибающей (изображен красным цветом)
Рисунок 3 – Фазовые спектры полосового радиосигнала (изображен темно-зеленым цветом)
и его комплексной огибающей (изображен красным цветом)
Представим комплексную огибающую в синусно-косинусной форме, воспользовавшись формулой Эйлера, тогда
z0(t)=A(t)cos[φ(t)] + jA(t)sin[φ(t)] = I(t) + jQ(t), (11)
где I(t) = A(t)cos[φ(t)] – синфазная составляющая комплексной огибающей;
Q(t) = A(t)sin[φ(t)] – квадратурная составляющая комплексной огибающей.
Тогда A(t)exp[jψ(t)] можно представить в виде
A(t)exp[jψ(t)]= A(t)exp[jφ(t)]exp(jω0t) = [I(t)+jQ(t)]exp(jω0t) = [I(t)+jQ(t)][cos(ω0t)+ jsin(ω0t)] =
=I(t)cos(ω0t)+ jI(t)sin(ω0t)+ jQ(t)cos(ω0t)+ j2Q(t) sin(ω0t) =
=I(t)cos(ω0t) – Q(t)sin(ω0t)+j[I(t)sin(ω0t)+Q(t)cos(ω0t)] (12)
Тогда s(t)=Re{A(t)exp[jψ(t)]}= I(t)cos(ω0t) – Q(t)sin(ω0t).
s(t)= I(t)cos(ω0t) – Q(t)sin(ω0t) (13)
Формула (13) описывает математическую модель квадратурного модулятора, позволяющий сформировать радиосигнал с произвольным видом модуляции. Амплитудная огибающая сигнала определяется выражением A(t)=
, фазовая функция – φ(t)=arctg[Q(t)/I(t)].
На рисунке 4 представлена функциональная схема векторного модулятора.
Рисунок 4 - Функциональная схема векторного модулятора
Так как cos(ω0t + π/2)=–sin(ω0t), то формулу (13) можно переписать в виде
s(t)= I(t)cos(ω0t)+Q(t)cos(ω0t + π/2) (14).
Таким образом, в схему на рисунке 4 нужно ввести фазовращатель на угол π/2.
Рисунок 5 -Функциональная схема векторного модулятора с фазовращателем
На слайдах 1-4 представлены комплексные огибающие сигналов с различными видами модуляции. В левом верхнем углу отображается осциллограмма несущей частоты sн(t)=cos(ω0t), далее в левом столбце отображаются компоненты комплексной огибающей I(t) и Q(t), в правом верхнем углу - результат модуляции по формуле (14), в правом нижнем углу - сигнальное созвездие. Длинна вектора - амплитуда сигнала, начальная фаза сигнала - угол между вектором и осью абсцисс.
Слайд 1 - Фазовая манипуляция ФМн-2 (BPSK)
Слайд 2 - Фазовая манипуляция ФМн-4 (QPSK)
Слайд 3 - Квадратурная модуляция (QAM)
Слайд 4 - Частотная манипуляция
ЛИТЕРАТУРА
1. Сергиенко А.Б. "Цифровая обработка сигналов": СПб:Питер - 2003
2. Полосовые радиосигналы. Комплексная огибающая и универсальный квадратурный модулятор